4.2-2.a

4.2-2.a

de Ignacio Inzaurralde Delgado -
Número de respuestas: 6

Buenos dias, 

Quería consultar como puedo resolver el ejercicio. Según mi razonamiento, supuse que tomar en cuenta la definición de límite y despejar delta seria lo correcto. Sin embargo, no se como comenzarlo.


En respuesta a Ignacio Inzaurralde Delgado

Re: 4.2-2.a

de Federico Joaquin Fornesi Ferreyra -
Buenas Ignacio, claro, igual que con el 4.2.1 , hay que usar la definición de límite y pensarlo de "atrás para adelante" con el épsilon que te dan. Es decir , que queres hallar el L y un \delta que cumpla que si  0  entonces  |f(x)-L| < 10^{-5} . Mi recomendación es que primero pienses en el  L que te va a servir , pensando a qué se acerca la función que te dan cuando te "acercas " 0 . Despúes que tengas el  L , es importante recalcar que se pide un  \delta que te sirva, no el mayor ni nada por el estilo. Siendo esto así, ahora sí pensalo de "atrás para adelante", vos tenes que  |x^2+\sqrt(x)| y queres acotar el valor absoluto de x, entonces por ejemplo podes hacer lo siguiente :  |x^2+\sqrt(x)| \leq |x|^2+|x|^{1/2} ahora, si le pedís a esto último que sea menor que 10^-5, en particular el valor absoluto de la izquierda es menor a 10^-5. Entonces ahora el problema se redujo a hallar un  \delta que cumpla que  \delta^2+\delta^{1/2} < 10^{-5} y bueno, por ejemplo  \delta = 10^{-12} va a funcionar ( te dejo que lo compruebes por tu cuenta). 

Saludos, 
Federico
En respuesta a Federico Joaquin Fornesi Ferreyra

Re: 4.2-2.a

de Patricia Gabriella Echenique Viñas -
Buenas tardes, agrego una duda a este ejercicio. El límite de raíz cuadrada de x cuando x->0 no existe. ¿O debería decir raíz cuadrada de valor absoluto de x? Gracias
En respuesta a Patricia Gabriella Echenique Viñas

Re: 4.2-2.a

de Marcos Barrios -

Buenas

Buenas, la definición que damos en las notas permite definir limites en el "borde" del dominio como es el caso (Definición 9 de las notas).

Sin embargo no es lo que pide explicitamente el ejercicio.

El ejercicio debería decir o bien \sqrt{\vert x \vert} como tu mencionas y como esta en el ejercicio anterior, o bien tomar solo los x \geq 0.

Utiliza cualquier de los modos para realizar el ejercicio. El ejercicio se corregirá en breve

 

Saludos
En respuesta a Federico Joaquin Fornesi Ferreyra

Re: 4.2-2.a

de Pablo Ismael González Batalla -

Buenas tardes

Estoy intentando realizar esta parte y otros ejercicios de 4.2.2, no comprendo como debería aplicar la definición de límites para resolverlos. Entiendo que al darme un epsilon, yo debo hallar L y delta (el cual depende de epsilon dado), la parte de hallar L la he podido hacer. Lo que se me dificulta es hallar delta, no comprendo como hallar delta a partir de las inecuaciones, mismo problema me ocurre con otros ejercicios de esta parte. Tal vez si tuvieras algún ejemplo podría entenderlo. Muchas gracias.

Saludos, Pablo

En respuesta a Pablo Ismael González Batalla

Re: 4.2-2.a

de Matilde Martinez -
Hola, Pablo.

Por ejemplo, miremos la parte a. En todo el ejercicio 4.2.2 te dan \varepsilon=10^{-5}, y en la parte a el límite es L=0. Esta función está definida sólo para x>0. Entonces queremos hallar \delta de modo que, si 0 < x < \delta se cumpla que x^2+\sqrt{x} < 10^{-5}. Como tanto x^2 como \sqrt{x} son funciones crecientes, x^2+\sqrt{x} < \delta^2+\sqrt{\delta}. Entonces, nos va a servir cualquier \delta > 0 para el cual \delta^2+\sqrt{\delta} \leq 10^{-5}.

No necesariamente tenemos, a partir de esta inecuación, que encontrar el valor de \delta más grande posible. El más grande posible sería el que cumple \delta^2+\sqrt{\delta}= 10^{-5}*.
 
Pero sí tenemos que encontrar alguno que cumpla \delta^2+\sqrt{\delta} \leq 10^{-5}. Para que pase esto, \delta debe ser menor que 1, por lo que \delta^2 < \sqrt{\delta}. Así que nos alcanza con encontrar un \delta para el cual 2\sqrt{\delta} \leq 10^{-5}. Por ejemplo, \delta=\frac{10^{-5/2}}{4} funciona.

*(Te propongo pensar, como otro ejercicio, por qué hay un \delta que satisface esta ecuación. Sugerencia: pensá en el Teorema de Bolzano.)