Hola,
Primero fijate que la proposición que se pide demostrar es para una función continua. Eso significa que en la demostración no se va a poder usar ningún teorema que asuma en su hipótesis que la función es holomorfa. (Toda función holomorfa es continua, se vió en el teórico, pero esto no va a ser útil porque una función continua puede no ser holomorfa.) O sea que la demostración necesariamente tendrá que ser más "a pie".
Lo que se pide probar es un límite: para todo ε>0 existe un δ>0 tal que si r<δ entonces
| ∫|z-a|=rf(z)/(z-a)dz - 2πi·f(a) |<ε
Usando los teoremas de acotación de integrales tenemos que
| ∫|z-a|=rf(z)/(z-a)dz - 2πi·f(a) | = | ∫|z-a|=rf(z)/(z-a)dz - ∫|z-a|=rf(a)/(z-a)dz | = | ∫|z-a|=r(f(z)-f(a))/(z-a)dz | ≤
≤ ∫|z-a|=r |f(z)-f(a)|/|z-a| |dz| = ∫|z-a|=r |f(z)-f(a)|/ r |dz|.
Por último (y aquí es donde entra la hipótesis) hay que usar la continuidad de f en a para encontrar el δ buscado y poder acotar la integral por el valor ε.
Saludos,
Mario.