Buenas,
no entiendo muy bien como agarrar esta demostración, que teorema puedo asumir valido?
Porque si asumo la formula de Cauchy local creo que saldría medio automático, no?
lo único que habría que ver es que si f es holomorfa es continua.
Luego la curva que se da es cerrada siempre, con r tendiendo a cero. Habrìa si que suponer que esta curva está contenida en un disco abierto de omega, centrado en a.
De otra forma no se me ocurre como sale.
agradezco alguna pista,
Hola,
Primero fijate que la proposición que se pide demostrar es para una función continua. Eso significa que en la demostración no se va a poder usar ningún teorema que asuma en su hipótesis que la función es holomorfa. (Toda función holomorfa es continua, se vió en el teórico, pero esto no va a ser útil porque una función continua puede no ser holomorfa.) O sea que la demostración necesariamente tendrá que ser más "a pie".
Lo que se pide probar es un límite: para todo ε>0 existe un δ>0 tal que si r<δ entonces
| ∫|z-a|=rf(z)/(z-a)dz - 2πi·f(a) |<ε
Usando los teoremas de acotación de integrales tenemos que
| ∫|z-a|=rf(z)/(z-a)dz - 2πi·f(a) | = | ∫|z-a|=rf(z)/(z-a)dz - ∫|z-a|=rf(a)/(z-a)dz | = | ∫|z-a|=r(f(z)-f(a))/(z-a)dz | ≤
≤ ∫|z-a|=r |f(z)-f(a)|/|z-a| |dz| = ∫|z-a|=r |f(z)-f(a)|/ r |dz|.
Por último (y aquí es donde entra la hipótesis) hay que usar la continuidad de f en a para encontrar el δ buscado y poder acotar la integral por el valor ε.
Saludos,
Mario.