Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 3: Integración

Buenas

Primero te comento lo de la función $f(x) = [x]$. en estas secciones del practico la función $f(x) = [x]$ es la distancia al/los enteros mas cercanos. Esa definición esta en el ejercicio 3.1-1. Evaluando en algunos puntos para entender mejor $f(3) = 0, f(7.1) = 0.1, f(5.8) = 0.2 \text{ y } f(4.5) = 0.5$.

Claro que para el ejercicio tendras que entender como es el gráfico. Si tienes dudas sobre esta funcion vuelve a escribir

Vamos ahora la función $f_{1}(t) = \max(\{t,2-t\})$.

De nuevo para entender un poco de la funcion evaluemos en algunos puntos.

Por ejemplo $f_{1}(0) = \max(\{0,2-0\}) = \max(\{0,2\}) = 2$ y $f_{1}(5) = \max(\{5,2-5\}) = \max\{(5,-3)\} = 5$. Es decir la funcion $f_{1}$  en un valor $x$ toma el mas grande de los elementos entre $x$ y $2-x$ (podrian ser iguales), como vimos en los ejemplos esto depende de $x$ claramente, pero para un $x$ concreto esta da un número concreto.

Tenemos entonces que la funcion $f_{1}$ se puede pensar como un función "partida".

$f_{1}(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll}2-x & \text{ si } x \leq 2-x\\  x & \text{ si } x>2-x \end{array}\right.$

Por lo que debes entender cuando $x \leq 2-x$. Esa inecuacion es equivalente a $x \leq 1$, es decir

$f_{1}(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll}2-x & \text{ si } x \leq 1\\  x & \text{ si } x>1 \end{array}\right.$

Más alla de que despues debas encontrar los puntos de corte, una forma de entender la situación es observar el grafico de las funciones en cuestión

si notamos $h_{1}(x) = x$ y $g_{1}(x) = 2-x$ la función es $f_{1}(x) = \max\{(h_{1}(x),g_{1}(x))\}$. si bosquejamos las funciones $h_{1}$ y $g_{1}$

Puedes ver que la funcion $h_{1}$ es mayor que $g_{1}$ a partir de $1$, luego $f_{1}(x) = h_{1}(x) = x$ para todo $x > 1$. Y para $x \leq 1$, es $g_{1}$ la que es mayor o igual a $h_{1}$. La funcion $f_{1}$ quedarse con el grafico "que este mas arriba de las dos".

Si tienes dudas vuelve a consultar

Saludos