Foro para preguntas de Combinatoria

Buen dia Roberto. Disculpà, te había entendido que la solución te había dado la suma de los primeros impares (en lugar del producto) y además no tenía idea de que desarrollo habías hecho para llegar a esa conclusión, ahora que adjuntaste lo que escribiste quedó muy claro.
Está perfecto tu razonamiento, la verdad que no lo había pensado por ahi, en el ejemplo queda claro que $a_3=5*a_2$ y da una buena idea de que se generaliza para cualquier n como $a_{n+1} = (2n+1)a_{n}$ para todo $n\geq 1$ donde $a_n$ es la cantidad de formas de particionar $\{1,2,\ldots,2n\}$ en subconjuntos de tamaño 2. Entonces lo que tendrías que mostrar es que si consideramos una partición de $\{1,2,\ldots, 2n, 2n+1,2n+2\}$ en subconjuntos de tamaño 2 (que por definición hay $a_{n+1}$ de tales particiones) entonces hay exactamente $a_n$ particiones que contienen el par $\{2n+2,2n+1\}$ y para cada $k, 1\leq k \leq 2n$ fijo, también existen exactamente $a_n$ particiones que contienen al par $\{2n+2,k\}$. De esa forma concluyes que $a_{n+1}= a_n + 2n\cdot a_n = (2n+1)a_n$. Como $a_1=1$ entonces te queda $a_n = \Pi_{k=1}^{n} (2k-1)$ que es la solución del problema.

Me gustó mucho esa forma de pensarlo, felicitaciones. La otra manera de hacerlo, más estándar digamos, es primero pensar que los pares que forman la partición estàn ordenados como primer par, segundo par, etc.. (lo pensamos primero asi y luego dividimos entre n! ya que el orden de esos pares es irrelevante). Con la regla del producto, tenemos $C_{2}^{2n}$ formas de seleccionar dos elementos para el primer par, luego $C_{2}^{2n-2}$ para el segundo par, etc... por la regla del producto tenemos el producto de esas posibilidades. La solución será ese producto dividido n! por lo que dijimos antes dado un total de $\frac{(2n)!}{n! 2^n}$

Saludos y felicitaciones de nuevo por el razonamiento inductivo para llegar a la solución.
Claudio

PD. Como ambos resultados son correctos entonces tenemos gratis la identidad $\Pi_{k=1}^{n} (2k-1) = \frac{(2n)!}{n! 2^n}$.