Hay que tener un poco de cuidado con lo de que "el orden no es relevante"
Para contar casos, sí lo es. Porque necesitamos que los casos sean equiprobables para que la estrategia de conteo tenga sentido.
Para poner un ejemplo, imaginemos que son en total 3 personas, y las fechas son los números del 1 al 365. Así, una configuración de cumpleaños posibles sería (1,46, 53) (por decir alguna).
Sin embargo, nos conviene diferenciarla de sus otros 5 reordenamientos ( (1,53, 46), (46, 53, 1), etc), ya que si considero que todas ellas son un mismo caso, me quedaría más probable que -por ejemplo- (4,4,4). Esto se debe a que (4,4,4) solo puede darse de una forma: los tres cumplen el día 4. Mientras que cualquier configuración con 3 números distintos puede formarse de 6 formas diferentes.