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Buenas.

En caso de que haya sido un error de tipeo, se puede demostrar que $f(t_{k+1},y_{k+1}) + f(t_k,y_k)$ (es decir, la suma, no la resta) es de orden $O(l_{k+1} + h_k)$. Es parte de la demostración de que el método del trapecio es de segundo orden, y también como señalas es parte de la demostración del examen que realizaba la combinación convexa de los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás, del cuál el método del trapecio es un caso así como el del cuestionario que muestras.

La demostración en resumen es:

1. Taylor en $u'(t)$: $f(t_k,y_k) = f(t_k,u(t_k)) = u'(t_k) = -u'(t_{k+1}) + O(h_k) = -f(t_{k+1},u(t_{k+1})) + O(h_k)$

2. Lipschitziana de $f$: $||f(t_{k+1},y_{k+1}) + f(t_k,y_k)|| = ||f(t_{k+1},y_{k+1}) -f(t_{k+1},u(t_{k+1})) + O(h_k)|| \leq L|| y_{k+1} - u(t_{k+1})|| + ||O(h_k)|| = L||l_{k+1}|| + ||O(h_k)||$

Si realmente te referías a la resta... podrías llegar a reducir a algo de este tipo:

$||f(t_{k+1},y_{k+1}) - f(t_k,y_k)|| = ||f(t_{k+1},y_{k+1}) - f(t_{k+1}, y_k) + f(t_{k+1}, y_k) - f(t_k,y_k)|| \leq L||y_{k+1} - y_k|| + ||f(t_{k+1}, y_k) - f(t_k,y_k)|| \approx L||y_{k+1} - y_k||$

Habría que ver mejor llegado a ese punto cómo es que el método define $y_{k+1}$, pero no parece que se pueda probar nada en términos absolutamente generales.

Igualmente no estoy viendo, si fuera ese el caso, la aplicación de esa propiedad a la pregunta del cuestionario que señalabas.

Saludos.