Hola, lo que pasa es que si $$X$$ es la cantidad de personas que tienen que pasar hasta sacar la llave ganadora entonces $$X$$ no tiene distribución geométrica ya que la distribución geométrica cuenta la cantidad de veces que repetimos un experimento hasta obtener en éxito. Pero, en este caso la cantidad de llaves que hay en la caja va cambiando a medida que pasan los participantes entonces no repetimos el mismo experimento. Si, los participantes sacaran una llave y la volvieran a poner en la caja ahí si se trataría de una distribución geométrica.
Lo que podemos hacer es buscar la función de probabilidad puntual de $$X$$ para calcular la esperanza de $$X$$.
Por ejemplo, $$p_X(1) = \frac{1}{L}$$ este seria el caso donde el primer participante elige la llave ganadora
$$p_X(2) = \frac{L-1}{L} \frac{1}{L-1}$$ para que el segundo participante consiga la llave ganadora tienen que ocurrir dos cosas: primero, el primer participante no puede haber obtenido la llave ganadora (de ahí el $$\frac{L-1}{L}$$) y segundo, entre las $$L-1$$ llaves que quedan el segundo participante elige la ganadora
Lo que podemos hacer es buscar la función de probabilidad puntual de $$X$$ para calcular la esperanza de $$X$$.
Por ejemplo, $$p_X(1) = \frac{1}{L}$$ este seria el caso donde el primer participante elige la llave ganadora
$$p_X(2) = \frac{L-1}{L} \frac{1}{L-1}$$ para que el segundo participante consiga la llave ganadora tienen que ocurrir dos cosas: primero, el primer participante no puede haber obtenido la llave ganadora (de ahí el $$\frac{L-1}{L}$$) y segundo, entre las $$L-1$$ llaves que quedan el segundo participante elige la ganadora