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Hola Zoé,
Como toda transformación lineal $T: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ es de la forma $T(x,y)=ax+by$, ambas definiciones son equivalentes. No es estrictamente necesario para la definición el hecho de que $a$ y $b$ corresponden a las derivadas parciales pero es una observación importante.
Saludos,
Leandro