Hola Juan.
Por un lado, el volumen total es constante, esto es
, diferenciando se obtiene entonces
. De aquí sale la igualdad de la primera línea.
Por otro lado, el proceso que sigue A es adiabático por lo tanto se cumple
, de aquí se tiene
.
Si le aplicamos Newton al pistón, las fuerzas que se ejercen son el peso, la fuerza asociada a la presión A y la fuerza asociada a la presión B. Es decir que se tiene
. Y por lo que dicho antes,
y esto es lo que se sustituyó en lo que marcaste en rojo.
Espero haber aclarado tu duda.
Saludos.
Por un lado, el volumen total es constante, esto es
![V_A+V_B=cte V_A+V_B=cte](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/51dda100ee061b196f32274899975d14.png)
![dV_A=-dV_B dV_A=-dV_B](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cfe646a18e91c9782297d40fad9975f2.png)
Por otro lado, el proceso que sigue A es adiabático por lo tanto se cumple
![P_AV_A^{\gamma_A}=cte P_AV_A^{\gamma_A}=cte](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5f9f3742374caa4e2d98d9f84611809a.png)
![P_A=P_{A,i}\left(\frac{V_{A,i}}{V_A}\right)^{\gamma_A} P_A=P_{A,i}\left(\frac{V_{A,i}}{V_A}\right)^{\gamma_A}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4cc409b6f86eed3f6a2191c7f3d3bd59.png)
Si le aplicamos Newton al pistón, las fuerzas que se ejercen son el peso, la fuerza asociada a la presión A y la fuerza asociada a la presión B. Es decir que se tiene
![P_B=P_A+m_pg/A_p P_B=P_A+m_pg/A_p](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/9987e667c5ea458de2c2ccfc528446a2.png)
![P_B=P_{A,i}\left(\frac{V_{A,i}}{V_A}\right)^{\gamma_A}+m_pg/A_p P_B=P_{A,i}\left(\frac{V_{A,i}}{V_A}\right)^{\gamma_A}+m_pg/A_p](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/abe214d8d097aad6642b9eb6da7523ff.png)
Espero haber aclarado tu duda.
Saludos.