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Hola Juan.
Por un lado, el volumen total es constante, esto es $V_A+V_B=cte$, diferenciando se obtiene entonces $dV_A=-dV_B$. De aquí sale la igualdad de la primera línea.
Por otro lado, el proceso que sigue A es adiabático por lo tanto se cumple $P_AV_A^{\gamma_A}=cte$, de aquí se tiene $P_A=P_{A,i}\left(\frac{V_{A,i}}{V_A}\right)^{\gamma_A}$.
Si le aplicamos Newton al pistón, las fuerzas que se ejercen son el peso, la fuerza asociada a la presión A y la fuerza asociada a la presión B. Es decir que se tiene $P_B=P_A+m_pg/A_p$. Y por lo que dicho antes, $P_B=P_{A,i}\left(\frac{V_{A,i}}{V_A}\right)^{\gamma_A}+m_pg/A_p$ y esto es lo que se sustituyó en lo que marcaste en rojo.

Espero haber aclarado tu duda.
Saludos.