Sí, entiendo. Un polinomio genérico es $$ax^2+bx+c$$. Poniendo $$p(1+x)=p(1-x)$$, llegas a que $$4a+2b=0$$, por lo que $$b=-2a$$. Entonces los polinomios de $$S$$ son los que cumplen justamente que $$b=-2a$$, ya los tenés identificados. Fijate que el $$c$$ puede ser cualquier cosa, el $$a$$ lo podes elegir como quieras también, pero el $$b$$ ya no, porque depende del $$a$$ que elegiste antes. Entonces tenés 2 grados de libertad, por lo cual, la dimensión de $$S$$ es 2.
Ahora ya sabemos que una base de $$S$$ tiene que tener dos elementos. Pero esto no aporta mucho porque todas las opciones tienen dos elementos, jeje. Lo que sí sabemos es que una base de $$S$$ tiene que estar formada por elementos de $$S$$. O sea, por polinomios que cumplan $$b=-2a$$, y además que sean LI.
PD: (creo que es la opción B ^^)
Ahora ya sabemos que una base de $$S$$ tiene que tener dos elementos. Pero esto no aporta mucho porque todas las opciones tienen dos elementos, jeje. Lo que sí sabemos es que una base de $$S$$ tiene que estar formada por elementos de $$S$$. O sea, por polinomios que cumplan $$b=-2a$$, y además que sean LI.
PD: (creo que es la opción B ^^)