Hola Alexis,
en relación a tu primer consulta, lo que decís está perfecto. $$\{(2,-3)\}$$ es base de la $$Im(T)$$. Lo que NO es, es una base de todo $$\mathbb{R}^2$$, porque la imagen de $$T$$ NO es todo $$\mathbb{R}^2$$, si no un subespacio de dimensión 1 de este. Esto es coherente con tu observación previa de que el núcleo tiene dimensión 1, y con el teorema de las dimensiones.
Lo segundo está muy bien. En este caso como la transformación lineal va de un espacio vectorial en el mismo, el núcleo y la imagen son ambos subespacios de $$\mathbb{R}^2$$. Como ambos tienen dimensión 1 y la intersección es $$\{0\}$$, esto implica que la suma es directa, y por tanto la dimensión de la suma es la suma de las dimensiones, y no le queda otra que ser todo $$\mathbb{R}^2$$.