Buenas noches, me gustaría saber si mi razonamiento es el correcto:
Hallé que $$N(T)= \begin{Bmatrix}(x,y): \in \mathbb{R} ^2 : y= -2x \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}(x,-2x):x \in \ \mathbb{R} \end{Bmatrix} $$ , es decir, $$N(T)= \begin{bmatrix}(1,-2)\end{bmatrix} $$ , entonces $$\dim(N(T))=1$$
Mi duda es, para $$Im(T)$$ hallé que $$ \begin{Bmatrix}(4,-6),(2,-3)\end{Bmatrix}$$ es generador de la Imagen por $$T$$ pero no base, porque el primer vector es dos veces el segundo, entonces supuse que $$(2,-3)$$ es base de $$Im(T)$$ pero no sé si es válido decir eso porque en realidad es un solo vector (no dos vectores, no puedo generar $$\mathbb{R} ^2 $$ con solo un vector)
Mi segunda duda es la siguiente:
Sé que la intersección entre $$N(T)$$ e $$Im(T)$$ me da el vector $$0_v$$ (no hay vectores en común) , entonces sé que $$N(T) \oplus Im(T)$$ y, por Teorema de las Dimensiones: $$\dim( \mathbb{R} ^2 ) = \dim(N(T)) + \dim(Im(T)) - \dim( N(T) \cap ( Im(T) ) $$
$$ 2= 1 +1 - 0$$ , luego $$\mathbb{R} ^2 = N(T) \oplus Im(T) $$ (opción $$(A)$$ )