Buenas noches, tengo una duda respecto a este ejercicio:
¿Cómo determino que $$(C)$$ es subespacio?
Sé que el $$0_v$$ pertenece porque satisface las condiciones, pero ¿cómo veo que es cerrado bajo la suma? Porque si me tomo, por ejemplo, $$v_1: \frac{x_1}{2}=3y_1=z_1$$ y $$v_2: \frac{x_2}{2}=3y_2=z_2$$ y sumo ambos vectores me dice que se mantienen las igualdades? Supongo que la misma lógica sería si me tomo un $$\lambda \in \mathbb{R}$$ y hago $$\lambda v \in S$$
Hola, exactamente es como dices. Corroboras que para cualquier par de vectores que estén en el conjunto, la suma también está. Y que para cualquier escalar $$\lambda$$ y cualquier vector del conjunto, el producto está.
También hay otra forma: como estamos en $$\mathbb{R}^3$$ vos podrías pensar que el conjunto (c) está determinado por 2 condiciones: $$x-2z=0$$ y $$-3y+z=0$$. Cada una de esas ecuaciones representa un plano, y su intersección es una recta en $$\mathbb{R}^3$$. Sabemos que las rectas y los planos por el origen son (los únicos) subespacios no triviales de $$\mathbb{R}^3$$, y como ya observaste, esa recta pasa por el origen.
Saludos!