MetNum-2S: Cuestionario 12, Pregunta 1 (opción c)

Buen día.

Quería consultar por la opción (c) del último cuestionario (12). Esta afirma que existen dos transformaciones de Householder diferentes para la situación planteada.

Mi razonamiento era que si hubiera otra matriz $H^*$ que verificara $H^*x = Hx = [a, 0, 0]^t$ , entonces al ser las transformaciones de Householder invertibles se tendría $H^{-1}H^*x = x \Rightarrow H^{-1}H^* = I \Rightarrow H^* = H$ . En este sentido no habría dos transformaciones diferentes que verificaran esto.

Por otra parte, al ser Householder una simetría respecto al un cierto plano, ¿no tendría que ser única?

¿Cuál es el error en estos razonamientos?

Saludos.

Re: Cuestionario 12, Pregunta 1 (opción c)

de Juan Pablo Borthagaray - miércoles, 8 de noviembre de 2023, 13:14

Hola Juan Manuel,

Creo que hay un problema de interpretación de la letra, o que la letra no es suficientemente clara. Tu interpretación asume que el valor de

$a$ está fijo; si es así, entonces sí hay una única transformación de Householder con la propiedad que se indica.

La letra no apuntaba a eso, sino a que

$H$ mande al vector

$x$ en un vector de la forma

$\begin{bmatrix} a \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ con

$a \in \mathbb{R}$ , es decir, a un vector colineal con el primero de la base canónica. Con esa interpretación, hay dos simetrías que lo cumplen (una que manda a

$a=-3$ y otra a

$a = 3$ ).