Consultas generales del curso

Buen día, Diego.

Siguiendo la demostración de Lagrange, asumiendo que tenemos un homomorfismo $f \colon G \to K$ con $G$ un grupo finito, tenemos que $|G| = q \cdot |{\rm Ker}(f)|$, donde $q$ es la cantidad de clases de equivalencia de cierta relación. Concretamente, la relación está dada por $g \sim g'$ si y solamente si $g \cdot (g')^{-1} \in {\rm Ker}(f)$. Entonces, la demostración del teorema de los órdenes se reduce a demostrar que $q$ coincide con la cardinalidad de la imagen de $f$. Lo anterior se logra construyendo una biyección entre la imagen de $f$ y otro conjunto con cardinalidad $q$, a saber, el conjunto formado por todas las clases de equivalencia de la relación $\sim$.

Para construir la biyección mencionada, hay que tener en cuenta lo que mencionas de que $g \sim g'$ si y solamente si, $f(f) = f(g')$. Podemos definir $\Phi \colon \{ \overline{g} / g \in G \} \to {\rm Im}(f)$ como $\Phi(\overline{g}) = f(g)$, donde $\overline{g}$ denota la clase de equivalencia de $g$. Primero hay que ver que $\Phi$ está bien definida, es decir, que $\Phi(\overline{g}) = \Phi(\overline{g'})$ si $g \sim g'$. Esto es claro ya que $g \sim g'$ si y solamente si $f(g) = f(g')$. La definición de $\sim$ también se puede usar para demostrar la inyectividad de $\Phi$, es decir, $\Phi(\overline{g}) = \Phi(\overline{g'}) \Longrightarrow \overline{g} = \overline{g'}$. Finalmente, si tomas $f(g) \in {\rm Im}(f)$, vamos a tener que $f(g) = \Phi(\overline{g})$ por definición de $\Phi$, es decir, $\Phi$ es sobreyectiva. Al ser entonces $\Phi$ una biyección, vas a tener que $|\{ \overline{g} / g \in G \}| = |{\rm Im}(f)|$, es decir, $|{\rm Im}(f)| = q$.

Espero que lo anterior sea de ayuda.

Por cierto, hay una demostración más sencilla del teorema de los órdenes, que es un corolario del primer teorema de isomorfismos. Está en las notas que subí la semana pasada.

Saludos cordiales,
Marco