Hola buenas. No estoy logrando entender la demostración de la proposición 6.36 del manual del curso que enuncia:
Sean V1 y V2 dos subespacios de V tales que V = V1 + V2 . Entonces, V1 ∩ V2 = 0 si y solo si V = V1 ⊕ V2 .
En particular no entiendo la demostración del recíproco de la misma en la que desarrolla:
Sea v ∈ V1 ∩ V2
luego − v ∈ V1 ∩ V2
. Por lo tanto: 0 = v + (−v) = 0 + 0 y por definicion de suma directa, 0 = v = −v.
Entiendo que la conclusión de que 0 solamente se pueda escribir como 0 + 0 proviene de la definición de suma directa pero esto no me hace ningún sentido ya que, por ejemplo, cualquier espacio vectorial para cumplir con las propiedades que lo definen debe contener al opuesto de todos los elementos que contiene, por lo que no existe una sino infinitas formas de construir al 0 dentro de si mismo, ¿O es que para obtener esa suma única de vectores se debe tomar uno y solamente uno de cada uno de los subespacios que lo conforman?
Muchas gracias.