Buenas, dada una funcion g(x), uno puede determinar si es contractiva en cierto inetrvalo I, hayando su derivada. En caso de que la raiz de la función tenga una raiz en I, uno puede afirmar que converga verdad, y en caso que no sea contractiva no es una condición necesaria para afirmar que no converge?
Hola Dan,
Creo que en la segunda frase, donde pusiste “raíz” por primera vez, quisiste escribir “derivada”. Te respondo pensando que fue así (si no, cualquier cosa aclarame nomás).
Si g es de clase
, eso quiere decir que su derivada es continua y el hecho de que en un punto su derivada sea nula implica que en un entorno de ese punto la derivada tiene valor absoluto menor a 1 y por lo tanto g es contractiva en ese entorno. Eso te da una condición suficiente de convergencia.
La pregunta de si esa condición es necesaria (o qué más hay que pedir para que lo sea) es relevante y un poco más delicada. Hay funciones que son contractivas que no son derivables. Si g es en un entorno de 
y 
se puede probar que no tenés convergencia.
Si justo
, entonces todo puede pasar: si pudieras mirar las derivadas de orden más alto de g, ahí capaz que podrías decir algo. De todos modos, ese es un caso límite, y de poco interés en la práctica. Mas vale evitar hacer iteraciones en las que estés tan cerca de no converger!
Creo que en la segunda frase, donde pusiste “raíz” por primera vez, quisiste escribir “derivada”. Te respondo pensando que fue así (si no, cualquier cosa aclarame nomás).
Si g es de clase
, eso quiere decir que su derivada es continua y el hecho de que en un punto su derivada sea nula implica que en un entorno de ese punto la derivada tiene valor absoluto menor a 1 y por lo tanto g es contractiva en ese entorno. Eso te da una condición suficiente de convergencia.La pregunta de si esa condición es necesaria (o qué más hay que pedir para que lo sea) es relevante y un poco más delicada. Hay funciones que son contractivas que no son derivables. Si g es
en un entorno de y se puede probar que no tenés convergencia. Si justo
, entonces todo puede pasar: si pudieras mirar las derivadas de orden más alto de g, ahí capaz que podrías decir algo. De todos modos, ese es un caso límite, y de poco interés en la práctica. Mas vale evitar hacer iteraciones en las que estés tan cerca de no converger!