Buenas, estoy teniendo una duda con este ejercicio
Llego a que P(|X-E(X)| < 0.1) >= 1-(1/0.1)V(X) con V(X) = (1-p)/np^2 por ser una geometrica, pero no se que hacer con el 0.92 de la confianza ni que p utilizar para hallar el n
Hola,
Vamos a denotar con $$\bar{X_n}$$ a la media muestral (o sea $$\bar{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$).
Que la confianza sea de al menos 92% quiere decir que buscamos un valor de $$n$$ tal que la probabilidad de que el valor de la media muestral no difiera de la en más de 0.1 es por lo menos 0.92, es decir $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n}| < 0.1) > 0.92$$.
Para usar Chebyshev, podemos reescribir esto como $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq 0.08$$.
Ahora, la desigualdad de Chebyshev nos dice que $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq \frac{Var(\bar{X_n})}{0.1^2} = \frac{1-p}{n p^2 0.1^2}$$
Para acotar $$\frac{1-p}{n p^2 0.1^2}$$ podemos usar el dato que $$0.2\leq p \leq 0.4$$.
De hecho si $$0.2\leq p \leq 0.4$$ se tiene que $$\frac{1-p}{p^2} \leq 20$$ ( para ver esto podemos considerar la función $$f(p)=\frac{1-p}{p^2}$$ y ver que si $$0.2\leq p \leq 0.4$$ entonces $$f'(p) < 0$$ y por lo tanto el maximo de $$f$$ en el intervalo $$[0.2, 0.4]$$ se alcanza cuando $$p=0.2$$ y se tiene que $$f(0.2)=20$$).
Luego, tenemos que $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq \frac{20}{n 0.1^2} = \frac{2000}{n}$$ y como buscamos $$n$$ de forma que $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq 0.08$$ alcanza con buscar $$n$$ tal que $$\frac{2000}{n} \leq 0.08$$ y de aquí se despeja que $$n \geq 25000$$.
Vamos a denotar con $$\bar{X_n}$$ a la media muestral (o sea $$\bar{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$).
Que la confianza sea de al menos 92% quiere decir que buscamos un valor de $$n$$ tal que la probabilidad de que el valor de la media muestral no difiera de la en más de 0.1 es por lo menos 0.92, es decir $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n}| < 0.1) > 0.92$$.
Para usar Chebyshev, podemos reescribir esto como $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq 0.08$$.
Ahora, la desigualdad de Chebyshev nos dice que $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq \frac{Var(\bar{X_n})}{0.1^2} = \frac{1-p}{n p^2 0.1^2}$$
Para acotar $$\frac{1-p}{n p^2 0.1^2}$$ podemos usar el dato que $$0.2\leq p \leq 0.4$$.
De hecho si $$0.2\leq p \leq 0.4$$ se tiene que $$\frac{1-p}{p^2} \leq 20$$ ( para ver esto podemos considerar la función $$f(p)=\frac{1-p}{p^2}$$ y ver que si $$0.2\leq p \leq 0.4$$ entonces $$f'(p) < 0$$ y por lo tanto el maximo de $$f$$ en el intervalo $$[0.2, 0.4]$$ se alcanza cuando $$p=0.2$$ y se tiene que $$f(0.2)=20$$).
Luego, tenemos que $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq \frac{20}{n 0.1^2} = \frac{2000}{n}$$ y como buscamos $$n$$ de forma que $$P(|\bar{X_n} - E(\bar{X_n})| \geq 0.1) \leq 0.08$$ alcanza con buscar $$n$$ tal que $$\frac{2000}{n} \leq 0.08$$ y de aquí se despeja que $$n \geq 25000$$.
Quedó clarisimo.
Muchas gracias!
Muchas gracias!