1er pregunta, cuestionario Ec. no lineales I

1er pregunta, cuestionario Ec. no lineales I

de Nicolas Grosso San Roman -
Número de respuestas: 2

Hola! Podrían explicar cómo se llega a que la convergencia es lineal y de orden 1/2? 

Estoy tratando de entender el orden p del teórico, pero no me cierra del todo.

En respuesta a Nicolas Grosso San Roman

Re: 1er pregunta, cuestionario Ec. no lineales I

de Juan Manuel Rivara De Leon -
Buenas.

Digamos que a_n = 2^{-n}. El orden de convergencia de esta sucesión es el máximo p tal que a_{n+1} = O((a_n)^p), es decir, \forall m \in \mathbb{N}, \exists c \in \mathbb{R}^+ / |a_{n+1}| \leq c(a_n)^p, \forall n \geq m.

En este caso, a_n = 2^{-n}, por lo que se está buscando p tal que |2^{-(n+1)}| \leq c(2^{-n})^p.

Reordenando un poco se puede llegar a \frac{1}{2} \leq \frac{c}{2^{n(p-1)}}. Si p > 1, \lim_{n \to +\infty} n(p-1) = +\infty, el divisor se va a +\infty y por lo tanto esa fracción se reduce a 0, que nunca puede ser mayor o igual a \frac{1}{2}.

En cambio con p = 1 el exponente se desvanece llevando la potencia a 1, donde basta luego que c sea cualquier número superior (o igual) a \frac{1}{2}. Ya que p = 1 se dice entonces que el orden es lineal.

La velocidad es \frac{1}{2} por un cálculo similar, \lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{(a_n)^p} = \lim_{n \to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty}\frac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.