duda formas cuadráticas

duda formas cuadráticas

de Nataly Melanie Ruber Maimo -
Número de respuestas: 5

hola tengo una duda sobre formas cuadráticas, cómo me doy cuenta, viendo la traza y el determinante, que f es definida negativa o semidefinida negativa? sé que si el determinante es positivo y la traza es negativa es negativa, pero no tengo forma de saber la condición para semidefinida. Lo digo para usar para saber si corresponde Lyapunov 1 o 2

En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: duda formas cuadráticas

de Bernardo Marenco -

Hola. No sé si le estás llamando f a la función de Lyapnuov. Pero entiendo que tu pregunta viene por el lado de tratar de usar alguno de los teorema de Lyapunov con una función de la forma V(x,y) = ax^2+2bxy + cy^2. En ese caso, la clasificación de la forma cuadrática según los parámetros a, b, y c es la de la tabla de abajo (esto está sacado del libro de Omar Gil):


Fijate que esas condiciones se traducen fácilmente en condiciones sobre la traza y el determinante de la matriz asociada a la forma cuadrática, es decir, de la matrix \displaystyle \left( \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\right).

Saludos
En respuesta a Bernardo Marenco

Re: duda formas cuadráticas

de Nataly Melanie Ruber Maimo -
y cómo puedes elegir entre usar ac-b^2 >0 y ac-b^2 =0? cómo sabes cuál es la correcta? es lo que no entiendo, o depende del ejercicio? Por ejemplo en el 5.c usando eso llego a b>2a pero también b=2a usando ac-b^2 =0, pero la correcta es b>2a según vi por ahí
En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: duda formas cuadráticas

de Nataly Melanie Ruber Maimo -
me di cuenta que ambos Lyapunov piden mínimo estricto en el punto crítico, entonces siempre usaría este caso si me piden ver en (0,0) y siempre me daría Lyapunov 2?

y si no me piden analizar en (0,0) tendría que ver la relación de (0,0) de todas formas? para ver la tabla, y en ese caso si cae en   es Lyapunov 2, y si cae en es Lyapunov 1? es eso? 
En respuesta a Nataly Melanie Ruber Maimo

Re: duda formas cuadráticas

de Bernardo Marenco -

Hola. Creo que tenés una confusión entre las condiciones que tienen que cumplir V y \dot{V} en los dos teoremas de Lyapunov. Por un lado, ambos teoremas piden que la V tenga un mínimo estricto en el punto crítico. Asumamos que el punto crítico es (0,0) (más abajo explico cómo podrías hacer si fuese otro punto). Si querés tratar de aplicar alguno de los teoremas de Lyapunov usando una forma cuadrática V(x,y) = ax^2+2bxy + cy^2, para que esa V tenga un mínimo estricto en (0,0) precisamos que sea definida positiva, es decir, que ac-b^2 > 0 y que a+c > 0 (fijate que esto es independiente de la ecuación que estemos considerando).

Además, para aplicar Lyapunov 1 precisamos que \dot{V} (x,y) = 2ax\dot{x} + 2b(\dot{x}y +x\dot{y}) + 2cy\dot{y} sea menor o igual que 0 en un entorno del origen (mientras que para Lyapunov 2 precisamos que sea estrictamente menor que 0). Ahí si entra a jugar la ecuación, porque quiénes son \dot{x} e \dot{y} dependerá de la ecuación con la que estemos trabajando. La idea es que uses la ecuación para sustituir \dot{x} e \dot{y} en la ecuación \dot{V} (x,y) = 2ax\dot{x} + 2b(\dot{x}y +x\dot{y}) + 2cy\dot{y} y trates de hallar condiciones sobre a, b y c que hagan que \dot{V}(x,y)\leq 0 (o \dot{V}(x,y) < 0 para Lyapunov 2). Para esto no hay un método general, porque dependerá de la ecuación con la que estemos trabajando.

En el caso que tu punto crítico no sea el origen, podés usar una forma cuadrática que se anule en el punto crítico. Es decir, si el punto crítico es (\bar{x},\bar{y}), podés probar con una forma cuadrática V(x,y) = a(x-\bar{x})^2+2b(x-\bar{x})(y-\bar{y}) + c(y-\bar{y})^2. Fijate que cambiar x por x-\bar{x} e y por y-\bar{y} lo que hace es trasladar el (\bar{x},\bar{y}) al (0,0), y las condiciones para que sea definida positiva son iguales a las de antes (solo que ahora el mínimo va a estar en (\bar{x},\bar{y}) en vez de en (0,0)).

Saludos