Parciales y exámenes

Hola, Ezequiel.

Ya lo tienes prácticamente hecho.

Faltaría justificar que ${\rm mcd}(2 \cdot 2^{n}, 2^n - 7^n) = 1$, pero esto es cierto ya que el único factor primo de $2 \cdot 2^n$ es 2, mientras que $2^n - 7^n$ siempre es impar. Por lo tanto, ${\rm mcd}(2^{n} + 7^n, 2^n - 7^n) = 1$, y ya estaría. Otra forma de hacerlo es resolviendo la ecuación diofántica, como propones. Pero me parece que por este camino se complica bastante. Respecto a tu pregunta, sí, las soluciones están en función de cada $n$. Fíjate que para $n = 1$, te queda la ecuación $4x - 5y = 1$, que tiene solución $x = 4$ e $y = -1$. Sin embargo, este par $(x,y)$ no es solución de $8x - 45y = 1$ (la ecuación correspondiente a $n = 2$).

Saludos,
Marco