MD2-2S: Primer parcial 2012, Ejercicio 2 (A) | FING

Página Principal

Primer parcial 2012, Ejercicio 2 (A)

La consigna es probar que $\forall n \in \mathbb{N}, n\geq 1, mcd(2^n+7^n,2^n-7^n)=1.$

Usando que $mcd(a,b)=mcd(b, a+bx) \forall x \in \mathbb{Z}$ llegué a

$mcd(2^n+7^n,2^n-7^n)=mcd(2\cdot2^n,2^n-7^n) \stackrel{?}{=}1$ , en caso de que sea verdad, la ecuación diofántica

$x2^{n+1}+y(2^n-7^n)=1 \implies x2^{n+1}+y(2-7)\sum_{i=0}^{n-1}2^i7^{n-1-i}=1$

tendría solución, pero la verdad que no se cómo seguir desde aquí.

Debería elegir $(x,y)$ en función de $n$ apropiadamente para que el resultado sea $1$ ? Cómo?

Voy por buen camino?

Re: Primer parcial 2012, Ejercicio 2 (A)

de Marco Antonio Perez - sábado, 23 de septiembre de 2023, 10:59

Hola, Ezequiel.

Ya lo tienes prácticamente hecho.

Faltaría justificar que

${\rm mcd}(2 \cdot 2^{n}, 2^n - 7^n) = 1$ , pero esto es cierto ya que el único factor primo de

$2 \cdot 2^n$ es 2, mientras que

$2^n - 7^n$ siempre es impar. Por lo tanto,

${\rm mcd}(2^{n} + 7^n, 2^n - 7^n) = 1$ , y ya estaría. Otra forma de hacerlo es resolviendo la ecuación diofántica, como propones. Pero me parece que por este camino se complica bastante. Respecto a tu pregunta, sí, las soluciones están en función de cada

$n$ . Fíjate que para

$n = 1$ , te queda la ecuación

$4x - 5y = 1$ , que tiene solución

$x = 4$ e

$y = -1$ . Sin embargo, este par

$(x,y)$ no es solución de

$8x - 45y = 1$ (la ecuación correspondiente a

$n = 2$ ).

Saludos,
Marco