Hola,
Tenes razón, para la condición de que el límite en más infinito es es igual a 1, se tiene que cumplir $$\epsilon=0$$ y $$\delta=1$$ (los puse al revés en la solución, ahora la arreglo).
Otra condición que tenemos sobre $$F_X$$ es que $$\lim_{x \to - \infty} F_X(x) = 0$$ lo que implica de $$\alpha=0$$.
Después, $$F_X$$ tiene que ser continua por derecha y los únicos puntos donde hay que estudiar esto son $$1$$ y $$-1$$ ya que el los demás puntos $$F_X$$ está definida a través de funciones continuas.
- $$F_X$$ es continua por derecha en $$1$$
Para esto tiene que cumplirse $$\lim_{x \to 1^+} F_X(x) = F_X(1)$$
Tenemos que $$F_X(1) = \beta + \gamma$$ y que $$\lim_{x \to 1^+} F_X(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$$
Se tiene que $$\lim_{x \to 1^+} F_X(x) = \lim_{x \to 1^+} 1$$ porque si $$x>1$$ entonces $$F_X(x) = \delta +\epsilon x$$ pero ya vimos que $$\epsilon=0$$ y $$\delta=1$$.
Entonces de esta condición obtenemos la ecuación $$\beta + \gamma = 1$$
- $$F_X$$ es continua por derecha en $$-1$$
Para esto tiene que cumplirse $$\lim_{x \to -1^+} F_X(x) = F_X(-1)$$
Tenemos que $$F_X(-1) = e^{-1}$$ y que $$\lim_{x \to -1^+} F_X(x) = \lim_{x \to -1^+} \beta x + \gamma = - \beta + \gamma$$
Entonces de esta condición obtenemos la ecuación $$- \beta + \gamma = e^{-1}$$
Usando las dos ecuaciones se despeja $$\beta$$ y $$\gamma$$.