Consultas Teórico/Práctico

Hola Camilo.
Está muy bien el lema. Y ahí ya casi tenías todo. El resto parece corresponder a un intento diferente de demostración, aunque parece correcto.

Con el lema habías descartado todas las aristas en $E \setminus T$ como posibles aristas de un MST de $G'$. Quedan como posibles candidatas las $n-1$ aristas de $T$, y $e$. Una de ellas es $e_{\max}$, que como explicás más abajo, y por la misma propiedad 4.20, tampoco puede pertenecer a un MST de $G'$. Por lo tanto, las únicas posibles aristas de un MST son las $n-1$ aristas en $(T \cup \{e\}) \setminus e_{\max}$, y esto es $T'$. Podrías agregar la demostración de que $T'$ es un árbol (grafo conexo y acíclico) y que es de cubrimiento de $G'$.

Algunos detalles.
Pusiste "todo árbol tiene $\vert V\vert - 1$ aristas". En realidad, un árbol puede tener menos aristas, incluso 0 (un árbol hoja). Debés haber querido poner árbol de cubrimiento. En esa misma frase, cuando ponés "este" me parece que querés decir $\tilde{T}$. Pero en realidad, por como está redactado, "este" sería $T'$. Te sugiero que en lo posible evites los "este", "ese", "aquel", etc. De todas formas no parece que hagas uso de esa afirmación.

Más abajo donde dice "los nodos que no están en $T'$" seguramente quisiste decir "las aristas".