MetNum-2S: Cuestionario 5, pregunta 1 (opción e)

Buen día.

Quería consultar sobre la respuesta (e) de la primera pregunta del cuestionario 5.

Entiendo que la lógica general de la respuesta viene por acotar el número de condición $\kappa(A)$ por la norma euclídea, utilizando que $||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}$ , siendo $\lambda_1$ el mayor valor propio de $A^tA$ (proposición 2.5.4 en las notas, resumida en la expresión 2.9). Mi duda viene por lo descrito en la observación 2.5.4: "...incluso si $A$ es diagonalizable, los valores propios de $A^tA$ en general no son iguales a los cuadrados de los valores propios de $A$ ". En este sentido quería consultar cuál era el razonamiento para asegurar que en este caso los valores propios de $A^tA$ están razonablemente acotados conociendo únicamente los valores propios de $A$ .

Saludos.

Re: Cuestionario 5, pregunta 1 (opción e)

de Juan Pablo Borthagaray - miércoles, 6 de septiembre de 2023, 15:46

Hola Juan Manuel,

Creo que te referís a la opción "

$A$ es diagonalizable y todos sus valores propios están en el intervalo

$[3,6]$ .

Hay un problema con esa opción, y es que nos faltó decir que

$A$ sea simétrica. Así como está, no es correcta. Gracias por la pregunta y vamos a corregir los puntajes de ella.

Te comento cómo sería la respuesta si

$A$ fuese simétrica. En ese caso, tomando una base ortonormal de

$\mathbb{R}^n$ formada por vectores propios de

$A$ , no es difícil probar que

$3 \|x\|_2 \le \|Ax\|_2 \le 6 \|x\|_2$ para todo vector

$x \in \mathbb{R}^n$ . Usando la caracterización de la Proposición 2.5.5 de las notas te queda que

$\kappa(A, \| \cdot \|_2 ) \le 2$ . (De hecho, vale la igualdad.)

Tu pregunta también me hizo caer en la cuenta en un error en las notas en la demostración del Lema 2.6.3. Ya quedaron corregidas.