Novedades

Agrego a la lista anterior algunos comandos de PARI/GP que pueden ser de ayuda para los ejercicios de práctico. Recuerden que pueden utilizar esta "calculadora" accediendo a https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

• Máximo común divisor entre 132 y 15 ("greatest common divisor" en inglés): gcd(132,15)

Devuelve: 3

• Coeficientes de Bezout de 132 y 15: gcdext(132,15)

Devuelve: [-1, 9, 3].

Esto quiere decir que: $mcd(132,15) = 3 = 132 \times (-1) + 15 \times (9)$. En particular los coeficientes de Bezout que devuelve son -1 y 9. La palabra "ext" en el comando, hace alusión al algoritmo de Euclides extendido, mediante el que se calculan los coeficientes de Bezout.

• Calcular la cantidad de divisores de $22 = 11 \times 2$: numdiv(22)

Devuelve: 4.

• Calcular todos los divisores positivos de 22: divisors(22)

Devuelve: [1, 2, 11, 22].

• Calcular 7^42 módulo 101: Mod(7^42,101)

Devuelve: Mod(21, 101); lo cual quiere decir que $7^{42} \equiv 21 \pmod{101}$

• Evaluar la función phi de Euler en $n=100$: eulerphi(100)

Devuelve: 40.

• Calcular el orden de la clase de equivalencia asociada al entero 4, en el grupo multiplicativo $U(9)$: znorder(Mod(4,9))

Devuelve: 3

• Calcular una raíz primitiva módulo 3^4: znprimroot(3^4)

Devuelve: Mod(2, 81); lo cual quiere decir que 2 es raíz primitiva módulo $3^4=81$. En este comando el módulo debe ser potencia de un primo.

• Calcular representantes de todos los elementos del grupo multiplicativo $U(20)$. Es decir: enteros entre 1 y 20 que son coprimos con 20.

for (n=1, 20, if ( gcd(n,20) == 1, print1(n, " ") ) )

Devuelve: 1 3 7 9 11 13 17 19.

• Calcular el logaritmo discreto de 38 en base 3, como elemento de $\mathbb{Z}_{42} = \mathbb{Z}_{ \varphi(43) }$: znlog( 38, Mod(3,43) )

Devuelve: 4; lo cual quiere decir que: $\log_3(38) \equiv 4 \pmod{42}$.

Esto equivale a decir que: $3^4 \equiv 38 \pmod{43}$. Por lo tanto, el valor obtenido se puede verificar con el comando: Mod(3^4,43), que efectivamente devuelve Mod(38,43).

• Resolver un sistema de 2 congruencias lineales: $\begin{Bmatrix} x \equiv 2 \pmod{11} \\ x \equiv 10 \pmod{17} \end{Bmatrix}$: chinese( Mod(2,11), Mod(10, 17) )

chinese( chinese( Mod(2,11), Mod(10,17) ), Mod(18,29) )

Devuelve: Mod(4600, 5423); por lo que la solución del sistema es: $x \equiv 4600 \pmod{5423}$. Notar que $5423 = 11 \times 17 \times 29$.