Calculadora de ayuda

Re: Calculadora de ayuda

de Matías Valdés -
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Agrego a la lista anterior algunos comandos de PARI/GP que pueden ser de ayuda para los ejercicios de práctico. Recuerden que pueden utilizar esta "calculadora" accediendo a https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

  • Máximo común divisor entre 132 y 15 ("greatest common divisor" en inglés): gcd(132,15)

Devuelve: 3

  • Coeficientes de Bezout de 132 y 15: gcdext(132,15)

Devuelve: [-1, 9, 3].

Esto quiere decir que:  mcd(132,15) = 3 = 132 \times (-1) + 15 \times (9) . En particular los coeficientes de Bezout que devuelve son -1 y 9. La palabra "ext" en el comando, hace alusión al algoritmo de Euclides extendido, mediante el que se calculan los coeficientes de Bezout.

  • Calcular la cantidad de divisores de  22 = 11 \times 2 : numdiv(22)

Devuelve: 4.

  • Calcular todos los divisores positivos de 22: divisors(22)

Devuelve: [1, 2, 11, 22].

  • Calcular 7^42 módulo 101: Mod(7^42,101)

Devuelve: Mod(21, 101); lo cual quiere decir que  7^{42} \equiv 21 \pmod{101}

  • Evaluar la función phi de Euler en  n=100 : eulerphi(100)

Devuelve: 40.

  • Calcular el orden de la clase de equivalencia asociada al entero 4, en el grupo multiplicativo  U(9) : znorder(Mod(4,9))

Devuelve: 3

  • Calcular una raíz primitiva módulo 3^4: znprimroot(3^4)

Devuelve: Mod(2, 81); lo cual quiere decir que 2 es raíz primitiva módulo  3^4=81 . En este comando el módulo debe ser potencia de un primo.

  • Calcular representantes de todos los elementos del grupo multiplicativo  U(20) . Es decir: enteros entre 1 y 20 que son coprimos con 20.

for (n=1, 20, if ( gcd(n,20) == 1, print1(n, " ") ) )

Devuelve: 1 3 7 9 11 13 17 19.

  • Calcular el logaritmo discreto de 38 en base 3, como elemento de  \mathbb{Z}_{42} = \mathbb{Z}_{ \varphi(43) } : znlog( 38, Mod(3,43) )

Devuelve: 4; lo cual quiere decir que:  \log_3(38) \equiv 4 \pmod{42} .

Esto equivale a decir que:  3^4 \equiv 38 \pmod{43} . Por lo tanto, el valor obtenido se puede verificar con el comando: Mod(3^4,43), que efectivamente devuelve Mod(38,43).

  • Resolver un sistema de 2 congruencias lineales:  \begin{Bmatrix} x \equiv 2 \pmod{11} \\ x \equiv 10 \pmod{17} \end{Bmatrix} : chinese( Mod(2,11), Mod(10, 17) )
Devuelve: Mod(112, 187). Esto quiere decir que la solución del sistema es:  x \equiv 112 \pmod{187} . Notar que  187 = 11 \times 17 .

  • Resolver un sistema de 3 congruencias lineales:  \begin{Bmatrix} x \equiv 2 \pmod{11} \\ x \equiv 10 \pmod{17} \\ x \equiv 18 \pmod{29} \end{Bmatrix} :

chinese( chinese( Mod(2,11), Mod(10,17) ), Mod(18,29) )

Devuelve: Mod(4600, 5423); por lo que la solución del sistema es:  x \equiv 4600 \pmod{5423} . Notar que  5423 = 11 \times 17 \times 29 .