MD2-2S: Calculadora de ayuda

Buenas.

En la siguiente página pueden encontrar una "calculadora" que les puede ayudar en algunos ejercicios de práctico (para comprobar que lo que hicieron está bien).

PARI/GP: https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

Para usarla hay que ingresar el comando deseado y darle a "Evaluate with PARI" para ver el resultado.

Les dejo como ejemplo algunos comandos útiles para los contenidos del práctico:

1. Hallar los factores primos del número 171: factor(171)

Devuelve: [3, 2; 19, 1]. Esto quiere decir que: $171 = 3^2 \times 19^1$ .

2. Obtener una lista de los primeros 10 números primos: primes(10)

Devuelve: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]

3. Hallar la cantidad de números primos menores o iguales a 23: primepi(23)

Devuelve: 9

4. Obtener una lista de los números primos menores o iguales a 23: primes( primepi(23) )

Devuelve: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23]

5. Determinar si un número $n$ es primo: isprime(n)

Devuelve: 1 si es primo, 0 si no es

Saludos.

Adjunto Captura de pantalla_2023-09-04_15-58-34.png

Re: Calculadora de ayuda

de Matías Valdés - jueves, 16 de noviembre de 2023, 20:42

Agrego a la lista anterior algunos comandos de PARI/GP que pueden ser de ayuda para los ejercicios de práctico. Recuerden que pueden utilizar esta "calculadora" accediendo a https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

Máximo común divisor entre 132 y 15 ("greatest common divisor" en inglés): gcd(132,15)

Devuelve: 3

Coeficientes de Bezout de 132 y 15: gcdext(132,15)

Devuelve: [-1, 9, 3].

Esto quiere decir que: $mcd(132,15) = 3 = 132 \times (-1) + 15 \times (9)$ . En particular los coeficientes de Bezout que devuelve son -1 y 9. La palabra "ext" en el comando, hace alusión al algoritmo de Euclides extendido, mediante el que se calculan los coeficientes de Bezout.

Calcular la cantidad de divisores de $22 = 11 \times 2$ : numdiv(22)

Devuelve: 4.

Calcular todos los divisores positivos de 22: divisors(22)

Devuelve: [1, 2, 11, 22].

Calcular 7^42 módulo 101: Mod(7^42,101)

Devuelve: Mod(21, 101); lo cual quiere decir que $7^{42} \equiv 21 \pmod{101}$

Evaluar la función phi de Euler en $n=100$ : eulerphi(100)

Devuelve: 40.

Calcular el orden de la clase de equivalencia asociada al entero 4, en el grupo multiplicativo $U(9)$ : znorder(Mod(4,9))

Devuelve: 3

Calcular una raíz primitiva módulo 3^4: znprimroot(3^4)

Devuelve: Mod(2, 81); lo cual quiere decir que 2 es raíz primitiva módulo $3^4=81$ . En este comando el módulo debe ser potencia de un primo.

Calcular representantes de todos los elementos del grupo multiplicativo $U(20)$ . Es decir: enteros entre 1 y 20 que son coprimos con 20.

for (n=1, 20, if ( gcd(n,20) == 1, print1(n, " ") ) )

Devuelve: 1 3 7 9 11 13 17 19.

Calcular el logaritmo discreto de 38 en base 3, como elemento de $\mathbb{Z}_{42} = \mathbb{Z}_{ \varphi(43) }$ : znlog( 38, Mod(3,43) )

Devuelve: 4; lo cual quiere decir que: $\log_3(38) \equiv 4 \pmod{42}$ .

Esto equivale a decir que: $3^4 \equiv 38 \pmod{43}$ . Por lo tanto, el valor obtenido se puede verificar con el comando: Mod(3^4,43), que efectivamente devuelve Mod(38,43).

Resolver un sistema de 2 congruencias lineales: $\begin{Bmatrix} x \equiv 2 \pmod{11} \\ x \equiv 10 \pmod{17} \end{Bmatrix}$ : chinese( Mod(2,11), Mod(10, 17) )

Devuelve: Mod(112, 187). Esto quiere decir que la solución del sistema es:

$x \equiv 112 \pmod{187}$ . Notar que

$187 = 11 \times 17$ .

Resolver un sistema de 3 congruencias lineales: $\begin{Bmatrix} x \equiv 2 \pmod{11} \\ x \equiv 10 \pmod{17} \\ x \equiv 18 \pmod{29} \end{Bmatrix}$ :

chinese( chinese( Mod(2,11), Mod(10,17) ), Mod(18,29) )

Devuelve: Mod(4600, 5423); por lo que la solución del sistema es: $x \equiv 4600 \pmod{5423}$ . Notar que $5423 = 11 \times 17 \times 29$ .