Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Las afirmaciones son relativas a la continuidad de la función $f$. Voy a "traducirlas" en términos de continuidad pero no probar aun. Si no sabes como verificar si son ciertas o no vuelve a escribir

Como $f(0) = 0$. La afirmación I es la definición de la continuidad de $f$ es $0$

Como $f(1)=1$. La afirmación II es la definición de la continuidad de $f$ es $1$

La condición III es equivalente a que $f$ este acotada en un entorno de $1$. Veamos que esta ultima es verdadera.

Observa que empieza con un existe $\epsilon > 0$ podemos tomar entonces un valor muy grande, por ejemplo 10. Para ese valor me preguntan si existe un $\delta > 0$ tal que $\vert f(x) - 1 \vert < 10$ para todo $x \in (1-\delta,1+\delta)$. Al haber tomado un valor tan grande en $\epsilon$, sera fácil encontrar en este caso un valor de $\delta$ que cumpla la propiedad. Puedes verificar que $\delta = 1$ lo cumple.

Si tienes dudas de como verificar esto ultimo con la propiedad III o como probar la continuidad o no continuidad en las anteriores vuelve a escribir

Saludos