Hola Esteban.
Lo que tenés mal es que cuando planteás $$\frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\overline{X}_n-\mu) \sim N(0,1)$$ el $$\mu$$ y el $$\sigma^2$$ son la esperanza y la varianza de las $$X_i$$ (con las que formás $$\overline{X}_n$$).
En este ejercicio no tenés $$\overline{X}_n$$, pero la Binomial negativa se puede escribir como suma de Geomericas independientes. Es decir que la $$X$$ del ejercicio se puede escribir como $$X=X_1+X_2+...+X_n$$ siendo cada $$X_i \sim Geo(p)$$, entonces podés multiplicar y dividir por $$n$$ y aplicás el TCL tal como lo planteaste donde ahora $$\mu $$ y $$\sigma^2$$ son la esperanza y varianza de la geométrica.
Otro argumento que es válido (y es más fácil) es el siguiente: dado que $$X$$ es suma de geométricas se aproxima por una normal donde la media y la varianza son las de $$X$$ y por lo tanto cuando le restás la media y dividís por su desvío te queda N(0,1).
Fijáte a ver si sale con esto, cualquier cosa la seguimos por acá.
Saludos, Juan.