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Hola Ignacio.

Una forma de verlo es la siguiente:

Tomemos la base canónica del espacio, $B=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$, donde $e_1=\left( \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix} \right), e_2=\left( \begin{matrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{matrix} \right)$, etc.

Llamemos $T^*(M)=\left( \begin{matrix} x & y \\ z & t \end{matrix} \right)$.

Sabemos que $\langle e_1,T^*(M)\rangle=\langle T(e_1),M\rangle$

El lado izquierdo de la igualdad anterior es:

 $\langle \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} x & y \\ z & t \end{matrix} \right)\rangle=\frac{1}{2} tr\left( e_1^t T^*(M) \right)=\frac{1}{2}tr\left(\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x & y \\ z & t \end{matrix} \right)\right)=\frac{1}{2}tr \left( \begin{matrix} x & z \\ 0 & 0 \end{matrix} \right) =\frac{x}{2}$.

El lado derecho de la igualdad es:

$\langle T(e_1),M\rangle=\langle \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right),\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right)\rangle=\frac{1}{2}tr\left( \begin{matrix} 9 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)=\frac{9}{2}$.

Entonces x=9.

Razonando igual con $e_2, e_3, e_4$ llegas a ecuaciones $\langle e_2,T^*(M)\rangle=\langle T(e_2),M\rangle$, etc.  de las que despejas $y,z,t$.

Saludos

J.