Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Hasta alli lo que hiciste es correcto y de hecho esta bien encaminado

Ahora tienes que hallar $A y B$, en este caso $A = \frac{1}{2} \text{ y } B= -\frac{1}{2}$. Si tienes dudas sobre como resolver el problema de cocientes de polinomios escribe en un nuevo post en el foro de teorico.

Bien teniendo esta información podemos continuar

$\displaystyle \int \frac{1}{u^2 - 1}du = \int \frac{du}{2(u-1)} - \int \frac{du}{2(u+1)} = \frac{1}{2}\left(\log(\vert u -1\vert) - \log(\vert u + 1\vert) \right)$

Ahora tenemos que evaluar la integral (por que recuerda que era una integral definida)

Para ello o bien hay que entender como cambian los limites de integración con tu cambio de variable o bien deshacer el cambio de variable (se pueden hacer cualquiera de ellas)

Si deshacemos el cambio de variable tenemos que

$\frac{1}{2}\left(\log(\vert u -1\vert) - \log(\vert u + 1\vert) \right)$ = $\frac{1}{2}\left(\log(\vert e^x -1\vert) - \log(\vert e^x + 1\vert) \right)$

Ahora evaluando en los limites de integración tenemos que

$\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{dx}{e^x-e^{-x}} =\frac{1}{2}\left(\log(\vert e^x -1\vert) - \log(\vert e^x + 1\vert) \right) \vert_{2}^{3}$

$\frac{1}{2}\left(\log(e^3 -1) -\log(e^3 + 1) -\left(\log(e^2-1) - \log(e^2+1) \right) \right)$

Para obtener el resultado de la misma forma que una de las opciones utilizamos la propiedad de $\log(a) - \log(b) = \log(a/b)$ y podemos concluir que

$\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{dx}{e^x-e^{-x}} = \frac{1}{2}\left( \log\left(\frac{e^3-1}{e^2 -1}\right) - \log\left(\frac{e^3 +1}{e^2+1}\right)\right)$

Cualquier duda sobre las cuentas vuelve a escribir

Saludos