Consultas de pruebas anteriores

Buenas

El problema radica en los extremos de integración que estas tomando.

Dado que $f, g$ son continuas la región acotada esta delimitada por los puntos de corte de las gráficas.

Veamos la situación ilustrada en los gráficos de $f \text{ y } g$ para entender mejor la situacion y luego resolver el problema. No tienes que saber de antemano como es el grafico, es solo para entender mejor en este caso como estamos trabajando.

Los puntos de corte son de la forma $(x,y)$ donde $f(x) = g(x) = y$ es decir buscamos $x > 0$ tales que $-3x^{2} +7x = \frac{4}{x}$. Los puntos podrian ser muchos pero en este caso son 2.

Esta ecuación es equivalente a $x > 0$ tales que $-3x^{3} +7x^{2} = 4$.(simplemente multiplique por $x$)

Es decir tienes que encontrar las raices de un polinomio de grado 3 (aunque 1 es una raiz evidente)

Desde aqui puedes encontrar las otras raices que son $2 \text{ y } -\frac{2}{3}$ pero esta última no cumple $x < 0$

Resumiendo, el polinomo $P(x) =-3x^3 +7x ² - 4$ tiene como raices $-\frac{2}{3}, 1 \text{ y } 2$ de donde su signo es

• negativo para $x \in (-\frac{4}{3},1) \cup (2,+\infty)$
• positivo para $x \in (-\infty,-\frac{4}{3}) \cup (1,2)$

Como $P(x) = (g(x) - f(x))x$ las funciones $f, g$ cumplen que:

• $f(x) < g(x)$ para $x \in (0,1)$
• $g(x) \leq f(x)$ para $x \in [1,2]$
• $f(x) < g(x)$ para $x > 2$

Tenemos asi que el area encerrada es $\{ (x,y) : 1 \leq x \leq 2 : g(x) \leq y \leq f(x)\}$ 

O lo que es lo mismo $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) - g(x) dx$

Tienes otros ejemplos de ejericios similares aqui https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/473352/mod_resource/content/1/area%20entre%20curvas%202.pdf

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos