Hola, no estoy entendiendo cómo resolver este ejercicio. Vi que ya se discutió pero no entendí. Cómo puedo hacer para hallar al menos la densidad de U? La fu se puede pensar como (fx /(fx + fy)) o está mal pensado?
Hola Nicolás.
Lamentablemente ese tipo de fórmulas del tipo $$\frac{f_X}{f_X+f_Y}$$ no corren.
Ahí lo que tenés que hacer es hallar la distribución de U.
Supongamos que $$0<u<1$$ (hay que pensar aparte los casos $$u<0$$ y $$u>1$$que quedan triviales.
$$F_U(u)=P(U \leq u)=P(\frac{X}{X+Y}\leq u)=P(Y \geq \frac{(1-u)X}{u}).$$
Ahora para calcular esa probabilidad aplicás la propiedad siguiente $$P((X,Y) \in A)\int \int_A f_{X,Y}$$, o sea que tenés que calcular la integral doble de la densidad conjunta sobre el semiplano $$Y \geq \frac{(1-u)X}{u}$$. La densidad conjunta es $$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$ (porque X e Y son independientes.
Esa integral doble quedará en función de $$u$$ ya que es $$F_U(u)$$ por lo que lo derivás y recién ahí tenés la densidad buscada de $$U$$.
Fijáte si sale por ahí, de lo contrario la seguimos.
Saludos, Juan.
En respuesta a Juan Kalemkerian
Re: 2015 semestre impar, ejercicio 4)
Buenas, despejando la Y no me doy cuenta cuáles serían los extremos de cada integral, para X tomé de 0 a infinito, y para Y desde (1-t)/t hasta infinito, pero no llego a la solución. Gracias.
En respuesta a Agustín Arístides Almeida Ahlers
Re: 2015 semestre impar, ejercicio 4)
de Juan Kalemkerian -
los extremos que planteás están bien salvo el caso de la Y, la Y varía entre (1-u)x/u e infinito, con eso debería ir saliendo.