GAL2-1S: Ejercicio 2 parcial 2020

Hola,una consulta, que información me da el dato de que A al cubo es cero y que A cuadrado es distinto de cero? Por qué A no podría tener un valor propio con mg=3?

Re: Ejercicio 2 parcial 2020

de Juan Piccini - lunes, 17 de abril de 2023, 13:05

Hola Melanie.

Una forma de verlo es la siguiente:

Recuerda que si

$Av=\lambda v$ , entonces

$A^nv=\lambda^n v$ .

Por tanto si

$Av=\lambda v$ , entonces

$O=A^3v=\lambda^3 v$ .

Como

$v\neq O$ , tiene que ser

$\lambda=0$ .

Esto ya dice que

$A$ tiene solamente un val.p.

Si fuese mg=4, todos los vectores del espacio serían vec.p. en cuyo caso tendríamos

$A=O$ y no podría ser

$A^2\neq O$ .

Si fuese mg=3, la forma de Jordan sería un bloque 4x4 con 3 subloques cuyos tamaños deben sumar 4.

Esto nos deja con dos bloques 1x1 y uno 2x2, con lo que

$J= \left( \begin{matrix} 0 & 0&0&0 \\ 0&0&0&0 &\\0&0&0&0\\0&0&1&0 \end{matrix} \right)$ .

En ese caso puede verse que

$J^2=O$ , con lo que debería ser

$A^2=P^{-1}J^2P=O$ , en contra de la letra.

El caso mg=1 puede descartarse razonando en forma similar a lo que hemos venido haciendo.

Espero haber aclarado tu duda.

Saludos