Primer parcial mayo 2019

Primer parcial mayo 2019

de Alfonso Caprile Reyes -
Número de respuestas: 3

Buenas, tenía una duda sobre el los primeros ejercicios del parcial. 



En el caso de la parte (8) si yo eligiera a = 0.01 la funcion en ese valor no tiende a infinito igualmente? como puedo asegurar que está acotada. 

(9) para esta parte supongo que habría que demostrarlo con la funcion que te dan, pero ya solo con el grafico queda bastante vidente que una funcion impar, lo que no entiendo es en la parte (10) según las respuestas es falso, si la funcion es impar como puede existir un x en el dominio que haga que f sea par? 


Mi otra duda está en el múltiple opción 




Hice la intersección, y me queda A definido de esa forma, entonces ¿puedo afirmar que A tiene ínfimo que además es mínimo (0)  y tiene supremo pero no máximo? 

En respuesta a Alfonso Caprile Reyes

Re: Primer parcial mayo 2019

de Marcos Barrios -

Buenas

Vamos parte por parte

Parte 8 del VF:

El bosquejo es eso, un bosquejo, para obtener conclusiones debes tener cuidado. La letra del problema dice que f tiene como dominio \mathbb{R} \setminus \{0\}, sin embargo en el grafico que se muestra no queda claro cuanto vale f(0.1) pero como 0.1 esta en el dominio f(0.1) tiene que ser algo, lo único que podemos decir es que es mayor que 15, o menor que -15.

Tratemos entonces en esta parte de trabajar con la definición de la función (observa que te dan la expresión algebraica al iniciar el problema).

Dado a > 0, la función f es continua en el intervalo [a,+\infty).

Para probar que esta acotada en este intervalo hay que usar el teorema de Weierstrass y que \lim_{x \to +\infty} f(x) = 5. Estas propiedades aun no las hemos visto en el curso, si ya las conoces y no te das cuanta como aplicarlas vuelve a escribir ahora, sino espera a que las veamos y vuelve a escribir alli

Parte 9 del VF:

Efectivamente se deduce del bosquejo (también de la expresión)

Parte 10 de VF:

Efectivamente la función cumple que f(x) = -f(-x) para x \neq 0. ¿Puede haber algún valor para el cual se cumple simultaneamente que f(x) = -f(-x) y f(x) = f(-x). Para visualizarlo mejor llamemos a = f(x) y b = f(-x) ¿existen a, b tal que a = b, a = -b? Intenta entender que pasa con a y b y revisa si la función  puede cumplir lo que se pide. Cualquier cosa vuelve a escribir.

Ejercicio 1 MO

La descripción de A en la segunda linea esta mal (pues falta intersectar con \mathbb{Q})

La notación de la tercera linea no es del todo correcta pero se entiende, una forma similar de escribirlo seria A = \{x \in \mathbb{R} : 0 \leq x < \sqrt{2} \text{ y } x\in \mathbb{Q} \}.

Lo que dices relativo a supremo ínfimo máximo mínimo esta bien.

Para verifica que no tiene máximo puedes ver que el supremo es \sqrt{2} y ese valore no esta en A por lo tanto A no puede ter máximo. Ya que si un conjunto tiene máximo debe coincidir con el supremo.

Cualquier consulta vuelve a escribir

Saludos
En respuesta a Marcos Barrios

Re: Primer parcial mayo 2019

de Nanami Zainahb Cabrera Soga -
Buenas. yo no entiendo a que se refiere en la parte (2) del verdadero o falso con "es posible extender f a una función continua en todo R eligiendo apropiadamente el valor f(0)", supongo se refiere a hacer que la función exista en 0, cambiando alguna variable, lo cual no seria posible.
En respuesta a Nanami Zainahb Cabrera Soga

Re: Primer parcial mayo 2019

de Marcos Barrios -

Buenas

La funcion f esta definida en \mathbb{R} \setminus \{0\} es decir no esta definida en 0.

Lo que plantea el ejercicio es si existe una función g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} que sea una extension de la f que sea continua en 0. Veamos que significa ser una extension.

La función g es una extensión de f si se cumple g(x) = f(x) para todo x en el dominio de f, en este caso \mathbb{R} \setminus \{0\}. Es una extension en el sentido que ampliaste el dominio, pero no cambiaste la funcion donde ya estaba definida.

En este ejemplo para que g sea continua en 0, se tiene que cumplir que exista L \in  \mathbb{R} tal que

\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = L = \lim_{x \to 0^{+}} g(x) = \lim_{x \to 0^{-}} g(x)

Pero como g(x) =  f(x) para todo  x \neq 0 se tiene que \displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} g(x) =  \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty, es decir el limite no puede ser finito y por tanto g no puede ser continua en 0.

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos