Buenas tardes Christian.
Integrar versores no es el camino. A modo de comentario, en el planteo de la integral hay un término constante, v(0), que no es dimensionalmente equivalente al resto de los términos y que, además, es un escalar en una ecuación vectorial.
La sugerencia que hace el ejercicio es que concluyas que la solución es de distancia al eje Oz constante, a partir de la observación de las condiciones iniciales.
Luego podés plantear la expresión para la posición en función del tiempo y derivarla para comparar con los datos de aceleración y velocidad.
Saludos!