Consulta de generalización de la aplicación del PIP para el ejercicio 9.

Consulta de generalización de la aplicación del PIP para el ejercicio 9.

de Juan Diego Duarte Gurmendez -
Número de respuestas: 2
Buenas tardes, 

Les quería hacer la siguiente consulta. Refiriéndome al video de Mónica que pusieron en el apartado del practico 1, mas específicamente  la primera parte. Quería saber mas a fondo de la generalización de la demostración de la propiedad que pasa de demostrar que todo Alpha perteneciente a Gamma, entonces x(Alfa) pertenece a Delta, se generaliza principalmente para todo Alpha perteneciente a delta, entonces x(Alpha) pertenece a Delta. Esto me genero dudas en cuanto al porqué de la generalización y en que casos se puede generalizar. 

Adjunto imágenes:  
Primera proposición de demostración.

Generalización.
 

Muchas gracias desde ya, lamento mi falta de practica con las extensiones con las formulas matematicas, pero no he podido configurar aún los editores de textos para el soporte de LaTex. 

Un saludo, Juan Diego.
En respuesta a Juan Diego Duarte Gurmendez

Re: Consulta de generalización de la aplicación del PIP para el ejercicio 9.

de Guillermo Calderon - InCo -

Hola Juan Diego:

Intento responder tus dudas:

el porqué de la generalización

Primero observamos que esa estrategia es correcta. Es decir que efectivamente probamos lo que nos piden.

Nuestro objetivo inicial es probar:

  • (∀α ∈ Γ) (α ∈ Δ ⇒ xα ∈ Δ)

Una forma equivalente de escribir lo mismo es:

  • (∀α ∈ Γ ∩ Δ) xα ∈ Δ

Como Δ ⊇ Γ ∩ Δ, si lo probamos para todo elemento en Δ lo estamos probando también para aquellos que están en la intersección de Γ y Δ.

Es decir, probamos un resultado más general que el pedido.

Lo segundo que observamos es que el resultado más general se prueba por una inducción simple en Δ.

en qué casos se puede generalizar

Esta parte es más complicada de responder, no hay un criterio general para saber si conviene o no generalizar. Deberían pasar dos cosas:

  • La generalización efectivamente se cumple (si no, no podría probarla)
  • Probar la generalización resulta más sencillo que probar el resultado original.

Espero que aclare tus dudas. Si no, volvé a preguntar.

En respuesta a Guillermo Calderon - InCo

Re: Consulta de generalización de la aplicación del PIP para el ejercicio 9.

de Juan Diego Duarte Gurmendez -
Excelente, me quedó clarísimo. Entiendo que hayan muchísimos casos en los cuales podemos aplicar o no la generalización, por lo cual estaré atento para ver si existen casos en los que podríamos demostrar de más.

Muchas gracias.