examen julio 2012 ej 3

examen julio 2012 ej 3

de Lucas Falkenstein Artecona -
Número de respuestas: 5
en la solucion del examen proponen usar una curva rectangular que tiene uno de sus lados en el eje real, y por lo tanto corta los polos de la funcion. aplican el teorema de losa residuos contando cada residuo a la mitad.
donde puedo ver un ejemplo mas claro de este metodo ya que no recuerdo haberlo visto en el curso. saludos
En respuesta a Lucas Falkenstein Artecona

Re: examen julio 2012 ej 3

de Bruno Yemini -
Hola, la curva nunca puede pasar por los polos, entonces tenés que hacer un semicirculito pasando por afuera de cada polo.

El problema es que, aunque hagas que el radio de ese semicírculo tienda a cero, la integral sobre ese semicirculo no tiende a cero. Así que hay que restársela a la integral de la curva entera para que esta sea igual a la integral impropia que querés calcular.

Lo que queda entonces es que, si C_r es el círculo de radio r y S_r el semicírculo:

\int_{S_r} f(z)dz = Res_p(f)\int_{S_r}\frac{dz}{z-p} = Res_p(f) \frac{1}{2}\int_{C_r} \frac{dz}{z-p}

Y ahí se vería porqué decimos que "se toma la mitad" del residuo. Tenés que restarle una mitad por el semicírculo.

Te dejo un rato para que pienses los detalles. Espero que esto te aclare un poco.
En respuesta a Bruno Yemini

Re: examen julio 2012 ej 3

de Bruno Yemini -
Bueno, prosigo con los que les dejé en la clase de consulta.

Los problemas que tuvimos para acotar fue justamente por lo que no tenía en cuenta:
|\frac{z}{4z^2+\pi}|
es acotado cuando el módulo de z es muy grande, y parecido a 1/z. Entonces, salvo por constantes que sacamos afuera tenemos que si la parte real de z es suficientemente grande

\int_{0}^{T} |f(z(t))|dt \sim \int_{0}^{T}e^{-t}\frac{dt}{|z|} < \frac{1}{X}\int_0^T e^{-t}dt
y haciendo crecer X a infinito, se tiene que la integral de este lado tiende a cero. Y es la misma cuenta para el otro lado.
En respuesta a Bruno Yemini

Re: examen julio 2012 ej 3

de Lucas Narbondo Alvarez -
es correcto tomarme una semicircunferencia en vez de una curva rectangular?
por el lema de deformacion de caminos la integral en el arco de la circunferencia con R tendiendo a infinito es 0
En respuesta a Lucas Narbondo Alvarez

Re: examen julio 2012 ej 3

de Bruno Yemini -
Si la integral queda dentro de las hipotesis del lema de deformación, sí. Si no habría que probarlo, no son condiciones suficientes.

En este caso creo que sí, porque el denominador es de segundo orden, pero no he hecho la cuenta.