Foro Práctico 10

Hola Pedro. Los límites de integración nos dicen que $x$ se mueve entre 1 y $e$ e $y$ se mueve entre $0$ y $\log(x)$. Es decir, el dominio de integración es el que está bajo la gráfica de $\log(x)$, con $x\in [1,e]$, como en el dibujo de abajo:

Gráficamente, lo que estamos diciendo es que para cada $x\in [1,e]$, los valores de $y$ que le corresponden son los que están entre $0$ y $\log(x)$. Es decir, si fijo un $x$ entre $1$ y $e$, los valores correspondientes de $y$ son los del segmento rojo de arriba. Si repito ese proceso para todos los $x\in [1,e]$ voy a recorrer toda el área bajo $\log(x)$ con $x\in[1,e]$.

Entonces, si querés escribir la integral en el orden inverso, tenés que fijar un $y\in [0,1]$. Para tener la misma área que antes, los $x$ que le corresponden a ese $y$ se tienen que mover en el segmento azul del dibujo, es decir, $x$ se va a mover entre $e^y$ (la preimagen de $y$ por la función $\log(x)$) y $e$. De esa forma lográs la misma área que antes.

Saludos