Hola, me quedó una duda acerca del último teórico en el que se trató la extensión del teorema de Taylor a funciones sobre R^n. Trabajando en R^2, ésta decía que, dada una función f : R^2 -> R perteneciente a C^(k+1) y un punto (x_0, y_0) en R^2, f(x_0 + Δx, y_0 + Δy) = f(x_0, y_0) + df_(x_0, y_0) (Δx, Δy) + ... + d^k f_(x_0, y_0) (Δx, Δy) + r_k (Δx, Δy) con lím [r_k (Δx, Δy) / ||Δx, Δy||^k] = 0.
Mi pregunta es, si aquí se hace uso de la k-diferenciabilidad de f al recurrir a sus k diferenciales en (x_0, y_0), ¿por qué se especifica previamente que f ha de pertenecer a C^(k+1)? La definición del diferencial de orden 2, por ejemplo, requiere que f pertenezca a C^2 (con tal de que f_(xy) = f_(yx) y la matriz hessiana sea simétrica), y asumo será de manera similar para diferenciales de orden superior. ¿Por qué entonces el requerimiento de que f sea diferenciable en un orden mayor al mayor utilizado en el teorema?
Desde ya, muchas gracias.