Hola Ignacio. Está bien la idea, salvo por un detalle: la condición suficiente de diferenciabilidad (teorema 6.17 en las notas del curso) pide que las derivadas parciales existan en un entorno del punto. Por lo tanto, en tu razonamiento faltaría aclarar que además probaste que las derivadas parciales existen en un entorno del (0,0).
Saludos