El tema de la dualidad es confuso, sí.
Mi frase no fue muy precisa. Quise decir que son formas alternativas de probar lo mismo, es decir, optimalidad de un problema con restricciones de igualdad y desigualdad. Las KKT en realidad sólo son las condiciones necesarias. Para la suficiencia tenemos dos alternativas:
* Si se cumplen las condiciones KKT y hay diferenciabilidad doble, entonces se puede garantizar que una solución es óptima si la Hessiana del Lagrangeano es definida positiva en las direcciones factibles.
* Si se cumplen las KKT y se cumple Complementary Slackness, también. Esa de hecho es la más fácil de ver, y es la que se ve en este tema. No tiene mucha vuelta, es lo que dijo Matías. Es simplemente pedir que los signos de las cosas sean de tal manera que se cumpla la optimalidad sí o sí :)
Dicho lo anterior, a veces no se puede aplicar _ninguna_ de esas dos cosas, y no tenemos forma de saber si un punto es óptimo.
En esos casos, lo mejor que podemos hacer (si es que se puede hacer) es maximizar la función dual y con eso tener una cota inferior de la función de costo.
Ya que estamos aclarando, y a riesgo de oscurecer, hay que tener claro que si bien la función dual es cóncava, hallar su forma implica minimizar de manera _exacta_ el Lagrangeano para cada par (lambda,mu). A veces se puede, y a veces no.