Se tienen dos conjuntos: A={1,2,...,m} y B={1,2,...,n}, contar la cantidad de funciones f: A→B tales que:
e) f es monótona creciente.
Para resolver esta parte se deben contar las combinaciones con repetición de n en m. O sea, multiconjuntos de m elementos del conjunto B. Al ser monótona creciente (NO estricta), dos elementos de A diferentes pueden tener la misma imagen. También puede ocurrir que todos las imágenes de A sean iguales, ya que cumple la condición de ser mayor o igual. Quiero saber si mi razonamiento es correcto.
f) Cada elemento i ∈ B es alcanzado ri veces, donde r1 + . . . + rn= m.
Esta parte me dejó en duda. Se cómo calcular cuántas soluciones posibles hay, pero al pensarlo, creo que la respuesta sería: toda función posible.
A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B. Significa que la cantidad de conexiones que "llegan" a todos los elementos de B, son los mismos que "salen" de A, que son m. La suma siempre dará resultado m, sin importar la función. La cantidad de funciones posibles (sin restricciones) es nm.
Además, calculando las combinaciones con repetición, habrían funciones "iguales". Lo muestro con un ejemplo:
A={1,2,3,4} B={1,2,3,4} m=4 n=4
f1: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4)
f2: (1,1) (2,2) (3,4) (4,3)
Cada elemento de B es alcanzado 1 vez, y la ecuación quedaría 1+1+1+1=4. Son dos funciones diferentes, pero la consigna las "trata como una".
Usando combinaciones con repetición la respuesta es 35.
Pensé este ejercicio varias veces, y a menos que haya entendido algo mal o falte algo, creo que es así.
