Hola, tengo una consulta sobre este ejercicio, creo que se equivocaron en un pasaje de la demostracion donde esta senalada en la imagen: 
Utilizan supongo 2.4.5 del contrareciproco pero deberia ser el del si y solo si, en cambio parece ser el del implica. Por otra parte quisiera saber si mi planteo es correcto, ya que llego a algo que deberia cumplirse, pero sin embargo se contradice: 
Estoy al tanto que no justifique los pasos, pero los fui corroborando. Muchas gracias, saludos.
En respuesta a Joaquin Bidegain Osano
Re: Examen diciembre 2020 ejercicio 2 a)ii)
Buenas tardes:
El paso que está marcado con un óvalo rojo se puede explicar más detalladamente así:
- Por definición de ⊧ :
M ⊧ α ↔ β ⇔ vᴹ(α) = vᴹ(β) Tomando las negaciones:
M ⊭ α ↔ β ⇔ vᴹ(α) ≠ vᴹ(β)Considerando casos por la desigualdad: M ⊭ α ↔ β ⇔ (vᴹ(α) = 0 y vᴹ(β) = 1) o (vᴹ(α) = 1 y vᴹ(β) = 0)
Tomando el segundo caso del "o":
M ⊭ α ↔ β ⇐ (vᴹ(α) = 1 y vᴹ(β) = 0)
(notar que ya no es doble flecha)Lo anterior equivale a: M ⊭ α ↔ β ⇐ M ⊧ α y M ⊭ β
En efecto, la condición de la izquierda coincide con la condición del contrarecíproco 2.4.5 para la implicancia. Pero solo vale para la dirección indicada. Otra forma de explicarlo pasa por considerar la equivalencia:
- (α ↔ β) eq (α → β) ∧ (β → α)
Para que M no modele (α ↔ β) alcanza con que no modele alguna de las dos implicancias.
Con respecto a tu planteo:
Esta parte tiene algún error:
M ⊭ (∀x)(P(x) ↔ (∀x)P(x))
⇔ (incorrecto)
(∀ a ∈ |M|) : M ⊭ (∀x)(P(x) ↔ (∀x)P(x))
⇔ (incorrecto)
(∃̄ a ∈ |M|) : M ⊭ (∀x)(P(x) ↔ (∀x)P(x))
Sin embargo, sí es correcto:
M ⊭ (∀x)(P(x) ↔ (∀x)P(x))
⇔ (2.4.5)
(∃̄ a ∈ |M|) : M ⊭ (∀x)(P(x) ↔ (∀x)P(x))
El resto del planteo está bien. Sólo hay que tener cuidado con la parentización.
Entonces se llega a:
(∃̄ a ∈ |M|) : (a ∉ Pᴹ ⇔ (∀ b ∈ |M|) b ∈ Pᴹ)
Es cierto que queda algo raro. La idea es elegir a que pertenezca a Pᴹ y entonces la doble fecha se cumple porque ambas partes son falsas:
◯ ∉ Pᴹ ⇔ (∀ b ∈ |M|) b ∈ Pᴹ