Consultas del curso

Buenas, primero que nada quiero recordar el Teorema de cambio de variable. La idea es re fácil: es usar Barrow dos veces. Como $f(u(x))$ es una primitiva de $f'(u(x))\cdot u'(x)$, Barrow dice que $\int_a^b f'(u(x))\cdot u'(x) dx= f(u(b))-f(u(a))$. También, como $f(x)$ es una primitiva de $f'(x)$, Barrow dice que $\int_{u(a)}^{u(b)} f'(x) dx= f(u(b))-f(u(a))$. Conclusión: $\int_a^b f'(u(x))\cdot u'(x) dx= \int_{u(a)}^{u(b)} f'(x) dx$. (Observar cómo cambian los extremos de integración.)
Listo, ahora te voy a explicar con más detalle lo que hace la solución del parcial.
Tenemos $\int_1^4 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}dx$ y queremos hacer un cambio de variable con $u(x)=\sqrt{x}$. Para eso, debería aparecer el $u'(x)$ multiplicando (como en la fórmula de arriba). Como no está $u'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}$, lo que hace es "hacer que aparezca", multiplicando y dividiendo por él:
$\int_1^4 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}dx= \int_1^4 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} 2\sqrt{x}\ dx= 2\int_1^4 \big(\sqrt{x}\big)^2e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx.$
Entonces, ahora tenemos $\int_1^4 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}dx= 2\int_1^4 u(x)^2 e^{u(x)} \cdot u'(x) dx$. Para hacer el cambio de variable, falta decir quién es la $f'$. Si llamamos $f'(x)=x^2e^x$, nos queda $\int_1^4 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}dx= 2\int_1^4 f'(u(x))\cdot u'(x) dx$, y ya podemos usar la fórmula: $\int_1^4 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}}dx= 2\int_{u(1)}^{u(4)} f'(x) dx= 2\int_1^2 x^2e^x dx.$