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Hola, Agustín.

Te sugiero que encuentres los valores de $T^\ast$ en la base canónica de $\mathbb{R}^3$ y extiendas por linealidad. Por ejemplo, para hallar $T^\ast(1,0,0)$, sabes que se tiene que cumplir que $\langle T(p), (1,0,0) \rangle = \langle p, T^\ast(1,0,0) \rangle$ para todo $p \in \mathcal{P}_1$. Ten en cuenta que $T^\ast(1,0,0)$ es un elemento de $\mathcal{P}_1$, por lo que $T^\ast(1,0,0) = ax + b$. El problema se reduce a hallar $a$ y $b$ en $\mathbb{R}$. Esto lo haces sustituyendo $p$ en la base canónica de $\mathcal{P}_1$, es decir, $\langle T(1), (1,0,0) \rangle = \langle 1, ax + b \rangle$ y $\langle T(t), (1,0,0) \rangle = \langle t, ax + b \rangle$. Desarrollando estas igualdades, vas a poder determinar $a$ y $b$ y obtener así $T^\ast(1,0,0) = ax + b$. Con ese mismo procedimiento, puedes hallar $T^\ast(0,1,0)$ y $T^\ast(0,0,1)$.

Saludos,
Marco