ejercicio cuestionario de diferenciablidad

ejercicio cuestionario de diferenciablidad

de Nicolas Brignoni Dardano -
Número de respuestas: 1

Buenas estaba haciendo el siguiente ejercicio:


La verdad que no supe como encararlo por el lado de la diferenciabilidad, que tal vez era lo que se pretendía.

Lo que hice en realidad fue medio GAl 1, como dos planos son paralelos si tienen el mismo vector normal a menos de una multiplicación por un escalar, entonces escribí un plano con los mismo coeficiente en x, z e y pero con un termino independiente variable. 

Luego halle la intersección del paraboloide con el plano imponiendo que la misma sea una esfera de radio cero, que se puede ver como un punto (creo).

Y finalmente llegue al resultado. Creo que esto se puede hacer bien por la forma del paraboloide. 

Dejo la resolución por las dudas y me gustaría alguna propuesta pata encarlo por otro lado.

Saludos, Nicolas.



En respuesta a Nicolas Brignoni Dardano

Re: ejercicio cuestionario de diferenciablidad

de Nicolas Brignoni Dardano -

Una consulta mas, en teórico se demostró que el vector gradiente es perpendicular a las curvas de nivel. Creo que este resultado es útil para saber la ecuación del plano tangente. Si de alguna forma se puede expandir el vector gradiente con una coordenada mas en el caso que estemos en R^2 a R^3 obtendríamos un vector que es normal a la superficie del grafico en todo punto.


Creo que este vector en el punto (x_{0}, y_{0}) es (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0},y_{0}),\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0},y_{0}), -1) y la ecuación del plano tangente es 

(\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0},y_{0}),\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0},y_{0}), -1)  \cdot   ((x - x_{0}), (y - y_{0}), (z - f(x_{0},y_{0}))) = 0

El producto escalar igualado a cero.

El vector (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0},y_{0}),\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0},y_{0}), -1) se puede obtener como el productor vectorial de los vectores directores de las rectas derivada parcial.

Estos son (1,0,\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0},y_{0})) y (0,1,\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0},y_{0}))

Esto es mas o menos asi?

Saludos, Nicolas.