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Hola, Santiago:

Aunque la base sea la canónica, se trata de una base en el espacio de polinomios de grado menor o igual que dos. Esto último es muy importante, ya que los vectores propios serán entonces polinomios, mientras que ${\rm coord}_{\mathcal{B}}(v)$ es un elemento de $\mathbb{R}^3$.

En general, si tienes un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$, la función $v \mapsto {\rm coord}_{\mathcal{B}}(v)$ define un isomorfismo de $V$ a $\mathbb{R}^n$. Cuando $V = \mathbb{R}^n$ y $\mathcal{B}$ es la base canónica de $\mathbb{R}^n$, entonces este isomorfismo es de hecho una igualdad. Sin embargo, esto último no era lo que ocurría en el parcial, pues $V = \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ y $\mathbb{R}^3$ son distintos (aunque isomorfos).

Saludos,
Marco