Foro: parciales y exámenes

Buenas, Nicolás. Muy buenas preguntas y muy buen formato! A ver si te puedo ayudar...

1) La afirmación no es cierta. Considera una velocidad que tenga una componente según k además de una componente perpendicular (según una dirección genérica u):

$\vec v = v_z \hat k + v_\perp \hat u$

Podemos separar el momento angular en dos términos:

$\vec L_O = m \vec r \times \vec v = m \vec r \times (v_z \hat k) + m \vec r \times (v_\perp \hat u)$

Debido a que las propiedades del producto vectorial, el primer término es perpendicular a k. Esto cual muestra que cuando proyectamos según k, no vemos la contribución de la componente de la velocidad correspondiente $v_z$.

$\vec L_O \cdot \hat k = m \vec r \times (v_\perp \hat u)$

En conclusión: la conservación de esa componente del momento angular no nos da información sobre la componente de la velocidad en la dirección paralela. Por lo tanto, que el movimiento sea plano no es consecuencia de esta conservación. Como ejemplo, considera el movimiento de la partícula del ejercicio 1.3, en una trayectoria helicoidal: la trayectoria no es plana pero aún así se conserva el momento angular en la dirección del eje de la hélice.

Por otro lado, si combinas conservación de la componente del momento angular con las condiciones iniciales entonces ahí sí puede darse que eso sea suficiente para garantizar una trayectoria plana. En ese caso hay que probar que la partícula se mantiene en un plano dado por los valores iniciales de $\vec r$ y $\vec v$.

2)  En el ejercicio del parcial, la partícula se mueve sobre la guía en el sentido hacia el centro de rotación, y la fuerza de rozamiento apunta en sentido contrario, hacia afuera (dirección centrífuga).

En la solución, la fuerza de rozamiento se plantea como

$\vec F_r = T \vec e_\rho$

y se concluye que $T>0$ debido a que $\dot \rho < 0$, lo cual equivale a decir lo mismo, pero con los símbolos del sistema. Tu duda es correcta, pero la respuesta es que la solución da T positiva (enlace aquí) ¿Te animás a revisar?

Si quieres aplicar la relación vectorial para $\vec F_r$, hay que expresar la velocidad relativa como $\vec v_r = \dot \rho \vec e_\rho$, por lo que efectivamente se encuentra T > 0. La expresión $T = -2fm\dot\rho \omega$ a la que se llega más adelante es positiva (a pesar del signo negativo).

Una observación sobre la nomenclatura: los vectores no tienen signo; tienen dirección y sentido. Los vectores no son ni negativos ni positivos (aunque si existen vectores opuestos entre sí). Las que tienen signo son las componentes de los vectores en un sistema de coordenadas.

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Saludos,
NC